계수가 모두 정수인 이차식 문제 풀이

### 문제 풀이 과정

주어진 이차식 \( P(x) \)가 조건 (가), (나), (다)를 만족하며, \( P(0) > 0 \)일 때 \( P(1) + R(1) \)의 최댓값을 구하는 문제입니다.

1. 조건 (가) 분석

\[ (x^2 - 3x + 2) P(x) \geq 0 \]

• \( x^2 - 3x + 2 \)를 인수분해하면 \[ (x-1)(x-2)P(x) \geq 0 \]
• 이 부등식이 항상 성립하려면 \( P(x) \)는 \( x = 1,2 \)에서 부호가 바뀌지 않아야 합니다.
• 즉, \( P(x) \)는 \( x = 1,2 \)에서의 부등식을 만족하는 형태여야 합니다.

2. 조건 (나) 분석

\[ \{ P(x) + 2 \}^2 \text{을 } x \text{로 나눈 나머지는 } 25 \]

• 이는 \( P(x) + 2 \)를 \( x \)로 나눈 나머지가 5 또는 -5임을 의미합니다.
• 즉, \( P(x) \equiv 5 - 2 \) 또는 \( P(x) \equiv -5 - 2 \) (mod \( x \))에서 고려할 수 있습니다.

3. 조건 (다) 분석

\[ (x^2 + x + 1) P(x) \text{를 } x^2 - x + 1 \text{로 나눈 나머지를 } R(x) \text{라 할 때, } R(3) = 0 \]

• 이는 나머지 다항식 \( R(x) \)가 특정 조건을 만족해야 함을 나타냅니다.

4. \( P(1) + R(1) \)의 최댓값 구하기

• \( P(x) \)가 조건을 만족하는 최대값을 찾아야 합니다.
• \( P(1) \)의 최댓값과 \( R(1) \)의 최댓값을 계산하여 더한 값을 구합니다.

계산 과정

1. \( P(x) = ax^2 + bx + c \)라고 가정하고, 주어진 조건들을 대입하여 적절한 값을 찾습니다.
2. 최댓값을 고려하여 \( P(1) + R(1) \)을 계산합니다.

최종 결과

\[ \boxed{32} \]